§ 3. Логіка выказванняў

Магчымасці камп’ютара вялікія. Ён можа дапамагчы ўрачу паставіць правільны дыягназ пацыенту, пасажыру — выбраць білет на патрэбны цягнік; камп’ютар можа кіраваць аўтамабілем, складаць прагнозы надвор’я і шмат што іншае.

Для таго каб высветліць, ці можа камп’ютар «думаць», спачатку трэба зразумець, як думае чалавек. Бо менавіта чалавек стварыў камп’ютар, і камп’ютар выконвае толькі тыя дзеянні, якім яго навучыў чалавек.

Нашы веды пра навакольны свет мы перадаём у апавядальных сказах. Такія сказы могуць адлюстроўваць рэчаіснасць правільна або няправільна. Думаючы, чалавек будуе свае разважанні, засноўваючыся на ўласных ведах.

Яшчэ Арыстоцель заўважыў, што правільнасць разважанняў не залежыць ад зместу, а вызначаецца формай.

Навука, якая вывучае формы разважанняў, называецца фармальнай логікай.

Матэматычная логіка выкарыстоўвае матэматычныя метады для даследавання спосабаў пабудовы разважанняў, доказаў, высноў.

Адным з раздзелаў сучаснай матэматычнай логікі з’яўляецца логіка выказванняў.

На правілах матэматычнай логікі пабудаваны працэсы «разважанняў» камп’ютара. Вывучэнне логікі выказванняў дапаможа зразумець, як можна навучыць камп’ютар «думаць».

3.1. Паняцце выказвання

Выказванне — апавядальны сказ (сцверджанне), пра які ў цяперашні час можна сказаць, праўдзівы ён ці непраўдзівы (прыклад 3.1).

Пра праўдзівасць выказвання можна гаварыць толькі ў цяперашнім часе: выказванне «Ідзе дождж» можа быць праўдзівым зараз і непраўдзівым праз гадзіну.

Як правіла, выказванні абазначаюць вялікімі лацінскімі літарамі. Калі выказванне А праўдзівае, пішуць А = 1, калі непраўдзівае — А = 0 (прыклад 3.2). Часта выкарыстоўваюць такія абазначэнні: А = true (праўдзіва) і А = false (непраўдзіва).

 

3.2. Лагічная аперацыя НЕ

З выказваннямі можна выконваць розныя аперацыі, як у матэматыцы — з лікамі (складанне, множанне, адніманне і інш.).

Лагічная аперацыя НЕ (адмаўленне) мяняе значэнне выказвання на супрацьлеглае: праўдзівае на непраўдзівае, а непраўдзівае на праўдзівае.

Лагічнае адмаўленне атрымліваецца з выказвання шляхам дадавання часціцы «не» да выказніка ці з выкарыстаннем звароту «няпраўда, што…» (прыклад 3.3). Часам пры пабудове адмаўленняў некаторыя словы замяняюць іх антонімамі, калі гэта магчыма.

Калі выказванне ўключае словы «ўсе», «усякі», «любы», то яго адмаўленне будуецца з выкарыстаннем слоў «некаторыя», «хоць бы адзін». І наадварот, для выказванняў са словамі «некаторыя», «хоць бы адзін» адмаўленне будзе ўключаць словы «ўсе», «усякі», «любы» (прыклад 3.4).

Любую аперацыю над лікамі ў матэматыцы абазначаюць якім-небудзь знакам: «+», «–», «·», «:». Для лагічных аперацый таксама вызначаны свае абазначэнні. Калі аперацыю адмаўлення ўжываюць у дачыненні да выказвання А, то гэта можна запісаць так: НЕ А. Можна сустрэць і іншыя абазначэнні для лагічнай аперацыі адмаўлення: Not A, ¬A, A, ~A.

Калі нас цікавіць праўдзівасць выказвання НЕ А, то яе (незалежна ад зместу) можна вызначыць па табліцы праўдзівасці:

 

А

НЕ А

1

0

0

1

З табліцы праўдзівасці вынікае, што адмаўленнем праўдзівага выказвання будзе непраўдзівае, а адмаўленнем непраўдзівага — праўдзівае (прыклад 3.5). Выказванне і яго адмаўленне ніколі не могуць быць праўдзівымі або непраўдзівымі адначасова.

Напрыклад, адмаўленнем выказвання «У мяне ёсць камп’ютар» будзе выказванне «У мяне няма камп’ютара» (ці выказванне «Няпраўда, што ў мяне ёсць камп’ютар»). Праўдзівасць гэтых выказванняў залежыць ад канкрэтнага чалавека. Для адных будзе праўдзівым першае выказванне, а для іншых — другое. Але абодва выказванні не могуць быць праўдзівымі ці непраўдзівымі адначасова для аднаго і таго ж чалавека.

Старажытнагрэчаскі філосаф Арыстоцель (384—322 гг. да н. э.) першым сістэматызаваў формы і правілы мыслення, распрацаваў тэорыю высноў і доказаў,
апісаў лагічныя аперацыі. Арыстоцелю належаць фармулёўкі асноўных законаў мыслення.

Ля вытокаў сучаснай логікі стаіць нямецкі матэматык Готфрыд Вільгельм Лейбніц (1646—1716). Вучоны прапанаваў ідэю паказаць лагічныя разважанні як вылічэнні, падобныя да вылічэнняў у матэматыцы.

Англійскі матэматык і логік Джордж Буль (1815—1864) перанёс на логіку законы і правілы матэматычных (алгебраічных) дзеянняў, стварыўшы тым самым алгебру логікі.
На лагічных элементах будуюцца лагічныя схемы электронных устройстваў. Законы булевай алгебры выкарыстоўваюцца і ў праграміраванні.

Прыклад 3.1. Наступныя сказы з’яўляюцца выказваннямі:

  1. Атам вадароду самы лёгкі (праўдзіва).
  2. Клетка — цэнтральная частка атама (непраўдзіва).
  3. Кірыла Тураўскі — вядомы англійскі пісьменнік і аратар, які жыў у другой палове XII ст. (непраўдзіва).
  4. Пры дзяленні любога ліку (акрамя нуля) на самога сябе атрымліваецца лік 1 (праўдзіва).

Прыклад 3.2.

А  = «а0 роўна 1»;

В  = «Масу вымяраюць у літ-рах».

Для прыведзенага прыкладу А = 1, В = 0.

Прыклад 3.3. Пабудуем адмаўленне выказванняў.

Выказванні:

  1. У кветкавых раслін развіваецца плод.
  2. Фрэска — гэта жывапіс вадзянымі фарбамі па свежай тынкоўцы.

Адмаўленне выказванняў:

  1. У кветкавых раслін не развіваецца плод.
  2. Няпраўда, што фрэска — гэта жывапіс вадзянымі фарбамі па свежай тынкоўцы.

Прыклад 3.4. Пабудуем адмаўленне выказванняў.

Выказванні:

  1. Усе навучэнцы займаюцца спортам.
  2. Некаторыя птушкі ўмеюць плаваць.
  3. Любая кветка мае пах.
  4. Часам у мамы бывае дрэнны настрой.

Адмаўленне выказванняў:

  1. Некаторыя навучэнцы не займаюцца спортам.
  2. Усе птушкі не ўмеюць плаваць.
  3. Хоць бы адна кветка не мае паху.
  4. У мамы заўсёды бывае добры настрой.

Прыклад 3.5. Вызначэнне праўдзівасці выказванняў з адмаўленнямі.

  1. Елка — гэта дрэва (праўдзівае выказванне). Елка — гэта не дрэва (непраўдзівае выказванне). А = 1, НЕ А = 0.
  2. Лік –7 з’яўляецца дадатным (непраўдзівае выказванне). Лік –7 не з’яўляецца дадатным (праўдзівае выказванне). А = 0, НЕ А = 1.
  3. Усе рэчывы — металы (непраўдзівае выказванне). Некаторыя рэчывы не металы (праўдзівае выказванне). А = 0, НЕ А = 1.
  4. Усе складнікі паветра з’яўляюцца газамі (праўдзівае выказванне). Некаторыя складнікі паветра не з’яўляюцца газамі (непраўдзівае выказванне). А = 1, НЕ А = 0.
  5. Працягласць сутак не залежыць ад хуткасці вярчэння планеты (непраўдзівае выказванне). Працягласць сутак залежыць ад хуткасці вярчэння планеты (праўдзівае выказванне). А = 0, НЕ А = 1.
  6. Дамы на левым баку вуліцы маюць цотныя нумары (непраўдзівае выказванне). Няпраўда, што дамы на левым баку вуліцы маюць цотныя нумары (праўдзівае выказванне). А  =  0, НЕ А  =  1.


1. Што такое выказванне?



2. Якія значэнні могуць мець выказванні?



3. Што робіць лагічная аперацыя адмаўленне?



  1. Якія са сказаў з’яўляюцца выказваннямі, а якія — не?
      1. Уключы манітор.
      2. Кісларод — гэта газ.
      3. Шышка — гэта кветка.
      1. Колькі вады ўцякло?
      2. Усе дзеці — навучэнцы.
      3. Хоць бы адзін пароль будзе правільным.
  2. Вызначыце праўдзівасць выказванняў.
      1. 123 — гэта лічба.
      2. Слова «стол» — гэта назоўнік.
      3. Лік 46 з’яўляецца ступенню ліку 2.
      1. Значэнне выразу роўна 0,75.
      2. Жалеза лягчэйшае за ваду.
  3. Пабудуйце адмаўленні выказванняў.
      1. Міша не можа пайсці ў кіно.
      2. Соня любіць маляваць.
      3. Усе планеты не маюць атмасферы.
      1. У верасні не бывае дажджоў.
      2. Сонца свеціць ярка.
      3. Некаторыя птушкі адлятаюць на поўдзень.
  4. Адкрыйце файл з дадзенымі ніжэй сказамі і адрэдагуйце іх, выдаліўшы ці ўставіўшы часціцу «не» так, каб усе сказы сталі праўдзівымі выказваннямі.
    • Возера Нарач не з’яўляецца найбуйнейшым возерам Беларусі.
    • Усе горы з’яўляюцца вулканамі.
    • Дуб — хвойнае дрэва.
    • Лік 27 з’яўляецца простым лікам.
    • Тэрмометр не дазваляе вызначыць тэмпературу цела.
    • Лік 2016 не дзеліцца на 3.
    • Трохвугольнік не з’яўляецца геаметрычнай фігурай.
  5. Якія сцверджанні пра жывёл, паказаных на рысунках, праўдзівыя,
    а якія — непраўдзівыя?

    • Некаторыя з гэтых жывёл умеюць лазіць па дрэвах.
    • Усе жывёлы жывуць у лясах.
    • Ніводнае з жывёл не з’яўляецца хатнім.
    • Кожную жывёлу можна пагладзіць.
    • Усе людзі любяць мышэй.
    • Ніводнае з жывёл не ўмее плаваць.
  6.  Адкрыйце файл з рысункам трох кветак. Размалюйце іх так, каб кожнае з выказванняў было праўдзівым.
    • Усе кветкі маюць жоўты круг у сярэдзіне.
    • На рысунку ёсць кветка з сінімі пялёсткамі.
    • На рысунку няма кветкі з чырвонымі пялёсткамі.
    • Няпраўда, што колер круга ў сярэдзіне кветкі супадае
      з колерам пялёсткаў.
    • Хоць бы ў адной кветкі пялёсткі рознага колеру.
  7. Стварыце 4 копіі рысункаў, атрыманых у заданні 6. Дапоўніце кожную копію відарысамі ваз (выберыце з файла) так, каб адпаведнае з ніжэйпрыведзеных выказванняў было непраўдзівым.
    1. Усе відарысы ваз — чатырохвугольнікі.
    2. На вазах ёсць арнамент у выглядзе кругоў.
    3. Усе кругі ў арнаменце рознага памеру.
    4. Хоць бы адзін круг у арнаменце белага колеру.
  8. *. Рашыце задачу-верш.Собаки с рыжими хвостами
    Себе овсянку варят сами.
    Тем, чьи хвосты стального цвета,
    Не позволяют делать это.
    Кто варит сам себе овсянку,
    Гулять выходит спозаранку.
    Все, кто гулять выходят рано,
    Не терпят фальши и обмана.
    Вид добродушный у Барбоса,
    Но на сорок он смотрит косо.
    Он видит: норовят сороки
    У воробьев списать уроки!
    Скажите — проще нет вопроса! —
    Какого цвета хвост Барбоса?