§ 6. Аперацыі над мноствамі

Для мностваў, як і для выказванняў, вызначаны свае аперацыі. Такімі аперацыямі з’яўляюцца аперацыі перасячэння і аб’яднання мностваў.

Разгледзім мноства навучэнцаў 7-га класа. Вылучым у ім два падмноствы: мноства аматараў гульні ў настольны тэніс і мноства навучэнцаў, у якіх дома ёсць камп’ютар. Некаторыя з навучэнцаў могуць і мець камп’ютар, і захапляцца тэнісам. Значыць, яны будуць уваходзіць у абодва мноствы.

Перасячэннем мностваў А i B называецца мноства, у якое ўваходзяць толькі тыя элементы, што належаць як мноству А, так і мноству В. Для абазначэння аперацыі перасячэння выкарыстоўваецца знак . Узоры выканання заданняў на знаходжанне перасячэння мностваў паказаны ў прыкладах 6.1 i 6.2.

Вылучым сярод навучэнцаў 7-га класа два падмноствы: мноства аматараў гульні ў настольны тэніс і мноства аматараў гульні ў вялікі тэніс. Тады мноства аматараў тэніса будзе ўключаць у сябе і тых, хто гуляе ў настольны тэніс, і тых, хто гуляе ў вялікі тэніс. Калі хтосьці гуляе і ў вялікі, і ў настольны тэніс, то ён таксама будзе ўваходзіць у мноства аматараў тэніса.

Аб’яднаннем мностваў А i В называецца мноства, у якое ўваходзяць элементы, што належаць хоць бы аднаму з мностваў А или В. Для абазначэння аперацыі аб’яднання мностваў выкарыстоўваецца знак . Узор выканання задання на аб’яднанне мностваў паказаны ў прыкладзе 6.3.

Перасячэнне і аб’яднанне двух мностваў можна адлюстраваць з дапамогай кругоў Эйлера.

Прыклад 6.1. Знойдзем перасячэнне мностваў А і В.

Мноства А Фігуры
чырвонага колеру
Мноства В Трохвугольнікі
Мноства А  ∩  В Трохвугольнікі
чырвонага колеру

Прыклад 6.2. Знойдзем перасячэнне мностваў А і В.

Мноства  А  — жывёлы, якія ўмеюць лятаць: пчала, журавель, майскі жук, верабей, бусел, страказа.

Мноства  В  — птушкі: страус, журавель, пінгвін, бусел, курыца, верабей.

Перасячэнне А  ∩  В = {журавель, бусел, верабей} — птушкі, якія ўмеюць лятаць.

Прыклад 6.3. Знойдзем аб’яднанне мностваў А і В.

 

Мноства А Ромбы
Мноства В Прамавугольнікі
Мноства А  ∪  В Чатырохвугольнікі

 


1 Што называюць перасячэннем мностваў?



2 Што называюць аб’яднаннем мностваў?



3 Як абазначаюцца аперацыі перасячэння і аб’яднання мностваў?



  1. 1 Знайдзіце перасячэнне і аб’яднанне мностваў А і В.
    1) А = {матэматыка, інфарматыка, гісторыя, літаратура};

    В = {англійская мова, матэматыка, хімія, гісторыя};

    2) А = {яблык, апельсін, мандарын, лімон, ківі};

    В = {апельсін, персік, мандарын, груша, лімон}.

 

  1. 2 Зададзены два мноствы. Знайдзіце іх перасячэнне і аб’яднанне.
    1. Мноства задач, якія рашаюцца з дапамогай праграмы графічны рэдактар = {адкрыць, захаваць, стварыць, заліўка колерам, друк}.
    2. Мноства задач, якія рашаюцца з дапамогай праграмы тэкставы рэдактар = {адкрыць, захаваць, стварыць, павялічыць памер шрыфту, друк}.
  1. 3 Рашыце задачы з выкарыстаннем кругоў Эйлера (нарысуйце іх у графічным рэдактары).
    1. 1. Пра навучэнцаў школы, якія ўдзельнічалі ў фізіка-матэматычным конкурсе, вядома, што 7 з іх рашылі задачы і па матэматыцы, і па фізіцы, 11 — задачы па матэматыцы, 9 — задачы па фізіцы. Колькі навучэнцаў прымалі ўдзел у конкурсе?
    2. 2. У кіёску каля школы прадаецца марожанае двух відаў: «Эскімо» і «Пламбір». Пасля ўрокаў 24 сямікласнікі купілі марожанае. Пры гэтым 15 з іх выбралі «Эскімо», а 17 — «Пламбір». Колькі сямікласнікаў купілі марожанае двух відаў?
    3. 3*. Са 100 турыстаў, якія ад’язджаюць у падарожжа, нямецкай мовай валодаюць 30 чалавек, англійскай — 28, французскай — 42.
      Англійскай і нямецкай мовамі адначасова валодаюць 8 чалавек, англійскай і французскай — 10, нямецкай і французскай — 5, усімі трыма мовамі — 3. Колькі турыстаў не валодаюць ніводнай мовай?

     

  2. 4* Выкарыстоўваючы рысунак, выканайце заданні.

    1. Стварыце два падмноствы мноства дзяўчынак. Для ўсіх дзяўчынак, якія ўваходзяць у першае падмноства, праўдзівым з’яўляецца выказванне: «Дзяўчынка носіць штаны сіняга колеру, І на яе майцы ёсць чырвоны колер». Для ўсіх дзяўчынак, якія ўваходзяць у другое падмноства, праўдзівае выказванне: «Дзяўчынка апранута не ў штаны АБО мае валасы жоўтага колеру».
    2. Знайдзіце перасячэнне і аб’яднанне гэтых мностваў.
    3. Колькі дзяўчынак не трапіла ні ў адно падмноства?
    4. Выканайце практыкаванне ў графічным рэдактары. Вакол дзяўчынак з першага мноства нарысуйце мяжу чырвоным колерам, а вакол дзяўчынак з другога мноства — сінім. Вобласць перасячэння абазначце жоўтым колерам.