§ 5. Множества

5.1. Понятие множества

Рассмотрим высказывание «Все учащиеся нашего класса имеют дома компьютер». Истинно оно или ложно? Для ответа на этот вопрос вам нужно задать каждому из одноклассников вопрос: «У тебя дома есть компьютер?» Если все учащиеся класса ответят утвердительно, то высказывание истинно, если хотя бы один из учащихся ответит «нет», то и высказывание будет ложным. Для разных классов это высказывание будет иметь различные значения, потому что различными будут множества учащихся класса.

Множество — совокупность каких-либо объектов, обладающих общим свойством. Эти объекты называют элементами множества.

Можно говорить о множестве учащихся 7 А класса, множестве отметок в классном журнале, множестве городов Беларуси, множестве букв русского алфавита и т. д. Понятие множества является одним из основных в математике.

Множества, как правило, обозначают прописными латинскими буквами, а элементы множества — строчными. Напомним, что для обозначения принадлежности элемента множеству используют специальные знаки:

а ∈ М (элемент а принадлежит множеству М), а  ∉ М (элемент а не принадлежит множеству М). Если множество M состоит из элементов a, b, c, то это записывают так: M = {abc}.

Чтобы задать множество, необходимо перечислить его элементы (пример 5.1) или назвать их общее свойство (пример 5.2).

5.2. Понятие подмножества

Рассмотрим множество учащихся какого-либо класса. В этом множестве можно выделить не только отдельного учащегося, но и некоторые группы учащихся. Например, отличники, учащиеся, умеющие играть в теннис, изучающие французский язык и т. д. Каждая из таких групп образует подмножество — часть множества учащихся.

Если множество А является подмножеством множества М, то это записывают так:
А ⊂ М. Запись А ⊄ М обозначает, что множество А не является подмножеством множества М.

Подмножество может содержать все элементы множества, а может не содержать ни одного (пустое множество; обозначается знаком ∅).

Некоторые элементы множества могут принадлежать одновременно разным подмножествам (пример 5.3).

Для наглядной геометрической иллюстрации множеств и отношений между ними используют круги Эйлера. Каждое множество изображается кругом. Если какое-либо множество является подмножеством другого множества, то один круг изображается внутри другого. Например, если M — множество всех хищников, а A — множество всех львов (A  ⊂ M), то это обозначается таким образом:

Множества, в том числе и бесконечные, в неявной форме использовались в математике со времен Древней Греции.

До XIX в. считалось, что точного определения множества нет. Множеством называли любое скопление, объединение предметов.

В конце XIX в. немецкий математик Георг Кантор (1845—1918) определил множество как «единое имя для совокупности всех объектов, обладающих данным свойством».

Пример 5.1. Пусть множество M   — это множество любимых учебных предметов семиклассника Игоря, состоящее из следующих элементов: математика, информатика, английский язык.

Тогда можно записать:

М = {математика, информатика, английский язык};

информатика ∈ М ;

литература ∉ М.

Пример 5.2. Пусть в множество M входят все учебные предметы, которые изучаются в 7-м классе. Перечислить все элементы данного множества можно, например, глядя на страницу школьного дневника.

Тогда можно записать:

информатика ∈ М ;

астрономия ∉ М .

Пример 5.3. Пусть М  = {Вера, Сергей, Вася, Вика, Лиза, Костя, Надя} — множество учащихся 7 Б класса, занимающихся в драмкружке. Из этого множества можно выделить следующие подмножества:

А = {Вера, Вика, Лиза, Надя} — множество девочек (красная граница).

В = {Сергей, Вася, Костя} — множество мальчиков (синяя граница).

С = {Вера, Вася, Вика} — множество детей, чьи имена начинаются на букву «В» (зеленая граница).

D = {Вера, Сергей, Вася, Вика, Лиза, Костя, Надя} — множество детей, в именах которых по 2 гласных звука (желтая граница).

E = ∅  — множество трехлетних детей.

Леонард Эйлер (1707—1783) — ученый, внесший значительный вклад в развитие математики и механики, а также физики, астрономии и ряда прикладных наук.



1. Что понимают под множеством?



2. Что понимают под подмножеством?



3. Что используется для геометрической иллюстрации множеств?



  1. Дополните каждое из множеств 1—2 элементами.
    1) А = {математика, информатика, история, литература};
    2) В = {яблоко, груша, апельсин, банан};
    3) С = {клавиатура, монитор, мышь};
    4) D = {карандаш, ручка, ластик, фломастер}.

 

  1. Какие элементы могут входить в следующие множества?
    1) Средства передвижения;
    2) цвета радуги;
    3) домашние животные;
    4) четные числа.

 

  1. Откройте файл с группами слов. Разделите слова каждой группы на два множества. Слова первого множества выделите красным цветом, а второго — синим. По каким признакам вы разделили слова?Образец:
    1) Текст в файле: гусь, лебедь, заяц, волк, павлин, курица, кабан, лось.
    Результат: А = {гусь, лебедь, павлин, курица};
    B = {заяц, волк, кабан, лось}.
    Признаки: А — множество птиц, В — множество зверей;
    2) мяч, стол, стул, коньки, шкаф, клюшка, шайба, комод;
    3) сом, уж, карась, окунь, щука, гадюка, кобра, питон.

 

  1. Из множества геометрических фигур А = {круг, овал, квадрат, прямоугольник, треугольник, пятиугольник} выделите подмножества:
    1) фигур, не имеющих углов;
    2) фигур, являющихся четырехугольниками;
    3) фигур, количество углов у которых больше трех.

 

  1. Откройте файл с изображениями геометрических фигур. С помощью операции копирования создайте подмножества а, б, в. Все элементы каждого подмножества разместите внутри соответствующего прямоугольника.
  2. Откройте файл с изображением бабочек. Используя операцию копирования, создайте нижеперечисленные подмножества и разместите их в прямоугольниках.

    1) Бабочки, в раскраске которых есть синий цвет;
    2) бабочки, в раскраске которых есть красный цвет;
    3) бабочки, в раскраске которых есть зеленый цвет;
    4) бабочки, в раскраске которых есть желтый цвет.

 

  1. Заданы два множества: K — множество книг в школьной библиотеке; U — множество учебных пособий в этой же библиотеке. Какое из множеств является подмножеством другого? Изобразите их с помощью кругов Эйлера.