§ 3. Логика высказываний

Возможности компьютера велики. Он может помочь врачу поставить правильный диагноз пациенту, пассажиру — выбрать билет на нужный поезд; компьютер может управлять автомобилем, составлять прогнозы погоды и многое другое.

Для того чтобы выяснить, может ли компьютер «думать», сначала нужно понять, как думает человек. Ведь именно человек создал компьютер, и компьютер выполняет только те действия, которым его научил человек.

Наши знания об окружающем мире мы выражаем в повествовательных предложениях. Такие предложения могут отражать действительность верно или неверно. Думая, человек строит свои рассуждения, основываясь на собственных знаниях.

Еще Аристотель заметил, что правильность рассуждений не зависит от содержания, а определяется формой.

Наука, изучающая формы рассуждений, называется формальной логикой.

Математическая логика использует математические методы для исследования способов построения рассуждений, доказательств, выводов.

Одним из разделов современной математической логики является логика высказываний.

На правилах математической логики построены процессы «рассуждений» компьютера. Изучение логики высказываний поможет понять, как можно научить компьютер «думать».

3.1. Понятие высказывания

Высказывание — повествовательное предложение (утверждение), о котором в настоящее время можно сказать, истинно оно или ложно (пример 3.1).

Об истинности высказывания можно говорить только в настоящем времени: высказывание «Идет дождь» может быть истинным сейчас и ложным через час.

Как правило, высказывания обозначают заглавными латинскими буквами. Если высказывание А истинно, пишут А = 1, если ложно — А = 0 (пример 3.2). Часто используют такие обозначения: А true (истина) и А false (ложь).

Пример 3.1. Следующие предложения являются высказываниями:

  1. Атом водорода самый легкий (истинно).
  2. Клетка — часть атома (ложно).
  3. Кирилл Туровский — известный английский писатель и оратор (ложно).
  4. При делении любого числа (кроме нуля) на само себя получается число 1 (истинно).

Пример 3.2.

А = «а0 равно 1»;

В = «Масса измеряется в литрах».

Для приведенного примера А = 1, В = 0.

3.2. Логическая операция НЕ

С высказываниями можно производить различные операции, подобно тому как в математике — с числами (сложение, умножение, вычитание и др.).

Логическая операция НЕ (отрицание) меняет значение высказывания на противоположное: истинно на ложно, а ложно на истинно.

Логическое отрицание получается из высказывания путем добавления частицы «не» к сказуемому или с использованием оборота «неверно, что…» (пример 3.3). Иногда при построении отрицаний некоторые слова заменяют их антонимами, если это возможно.

Если высказывание содержит слова «все», «всякий», «любой», то отрицание такого высказывания строится с использованием слов «некоторые», «хотя бы один». И наоборот, для высказываний со словами «некоторые», «хотя бы один» отрицание будет содержать слова «все», «всякий», «любой» (пример 3.4).

Любую операцию над числами в математике обозначают каким-либо знаком: «+», «–», «·», «:». Для логических операций тоже определены свои обозначения. Если операцию отрицания применяют к высказыванию А, то это можно записать так: НЕ А. Можно встретить и другие обозначения для логической операции отрицания: Not A, ¬A, A, ~A.

Если нас интересует истинность высказывания НЕ А, то ее (вне зависимости от содержания) можно определить по таблице истинности:

 

А

НЕ А

1

0

0

1

Из таблицы истинности следует, что отрицанием истинного высказывания будет ложное, а отрицанием ложного — истинное (пример 3.5). Высказывание и его отрицание никогда не могут быть истинными или ложными одновременно.

Отрицанием высказывания «У меня есть компьютер» будет высказывание «У меня нет компьютера» (или высказывание «Неверно, что у меня есть компьютер»). Истинность этих высказываний зависит от конкретного человека. Для одних будет истинным первое высказывание, а для других — второе. Но оба высказывания не могут быть истинными или ложными одновременно для одного и того же человека.

Аристотель (384—322 гг. до н. э.) — древнегреческий философ. Первым систематизировал формы и правила мышления, разработал теорию умозаключений и доказательств, описал логические операции. Аристотелю принадлежат формулировки основных законов мышления.

У истоков современной логики стоит немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц ( 1646—1716 ), предложивший идею представить логические рассуждения как вычисления, подобные вычислениям в математике.

Английский математик Джордж Буль (1815—1864) перенес на логику законы и правила математических (алгебраических) действий, создав тем самым алгебру логики.

Пример 3.1. Следующие предложения являются высказываниями:

  1. Атом водорода самый легкий (истинно).
  2. Клетка — часть атома (ложно).
  3. Кирилл Туровский — известный английский писатель и оратор (ложно).
  4. При делении любого числа (кроме нуля) на само себя получается число 1 (истинно).

Пример 3.2.

А  = «а0 равно 1»;

В  = «Масса измеряется в литрах».

Для приведенного примера А = 1, В = 0.

Пример 3.3. Построим отрицание высказываний.

Высказывания:

  1. У цветковых растений развивается плод.
  2. Фреска — это живопись водяными красками по свежей штукатурке.

Отрицание высказываний:

  1. У цветковых растений не развивается плод.
  2. Неверно, что фреска — это живопись водяными красками по свежей штукатурке.

Пример 3.4. Построим отрицание высказываний.

Высказывания:

  1. Все учащиеся занимаются спортом.
  2. Некоторые птицы умеют плавать.
  3. Любой цветок имеет запах.
  4. Иногда у мамы бывает плохое настроение.

Отрицание высказываний:

  1. Некоторые учащиеся не занимаются спортом.
  2. Все птицы не умеют плавать.
  3. Хотя бы один цветок не имеет запаха.
  4. У мамы всегда бывает хорошее настроение.

Пример 3.5. Определение истинности высказываний с отрицаниями.

  1. Ель — это дерево (истинное высказывание). Ель — это не дерево (ложное высказывание). А = 1, НЕ А  = 0.
  2. Число –7 является положительным (ложное высказывание). Число –7 не является положительным (истинное высказывание). А  = 0, НЕ А  = 1.
  3. Все вещества — металлы (ложное высказывание). Некоторые вещества не металлы (истинное высказывание). А = 0, НЕ А = 1.
  4. Все составляющие воздуха являются газами (истинное высказывание). Некоторые составляющие воздуха не являются газами (ложное высказывание). А = 1, НЕ А = 0.
  5. Длительность суток не зависит от скорости вращения планеты (ложное высказывание). Длительность суток зависит от скорости вращения планеты (истинное высказывание). А = 0, НЕ А = 1.


1. Что такое высказывание?



2. Какие значения могут иметь высказывания?



3. Что делает логическая операция отрицание?



  1. Определите, какие из предложений являются высказываниями, а какие нет.
      1. Включи монитор.
      2. Кислород — это газ.
      3. Шишка — это цветок.
      1. Сколько воды утекло?
      2. Все дети — учащиеся.
      3. Хотя бы один пароль будет верным.
  2. Определите истинность высказываний.
      1. 123 — это цифра.
      2. Стол — это существительное.
      3. Число 46 является степенью 2.
      1. равно 0,75.
      2. Железо легче воды.
  3. Постройте отрицания высказываний.
      1. Миша не может пойти в кино.
      2. Соня любит рисовать.
      3. Все планеты не имеют атмосферы.
      1. В сентябре не бывает дождей.
      2. Солнце светит ярко.
      3. Некоторые птицы улетают на юг.
  4. Откройте файл с данными ниже предложениями и отредактируйте их, удалив или вставив частицу «не» так, чтобы все предложения стали истинными высказываниями.
    • Озеро Нарочь не является крупнейшим озером Беларуси.
    • Все горы являются вулканами.
    • Дуб — хвойное дерево.
    • Число 27 является простым числом.
    • Термометр не позволяет определить температуру тела.
    • Число 2016 не делится на 3.
    • Треугольник не является геометрической фигурой.
  5. Какие утверждения о животных, представленных на рисунках, истинные, а какие — ложные?
    • Некоторые из этих животных умеют лазать по деревьям.
    • Все животные обитают в лесах.
    • Ни одно из животных не является домашним.
    • Каждое животное можно погладить.
    • Все люди любят мышей.
    • Ни одно из животных не умеет плавать.
  6. Откройте файл с рисунком трех цветков. Раскрасьте их так, чтобы каждое из следующих высказываний было истинным.
    • Все цветки имеют желтый круг в середине.
    • На рисунке есть цветок с синими лепестками.
    • На рисунке нет цветка с красными лепестками.
    • Неверно, что цвет круга в середине цветка совпадает с цветом лепестков.
    • Хотя бы у одного цветка лепестки разного цвета.
  7. Дополните рисунок из задания 6 изображениями ваз (выберите из файла) так, чтобы каждое из следующих высказываний было ложным.
    1. Все изображения ваз — четырехугольники.
    2. На вазах есть орнамент в виде кругов.
    3. Все круги в орнаменте разного размера.
    4. Хотя бы один круг в орнаменте белого цвета.
  8. *. Решите задачу-стихотворение.Собаки с рыжими хвостами

    Себе овсянку варят сами.

    Тем, чьи хвосты стального цвета,

    Не позволяют делать это.

    Кто варит сам себе овсянку,

    Гулять выходит спозаранку.

    Все, кто гулять выходят рано,

    Не терпят фальши и обмана.

    Вид добродушный у Барбоса,

    Но на сорок он смотрит косо.

    Он видит: норовят сороки

    У воробьев списать уроки!

    Скажите — проще нет вопроса! —

    Какого цвета хвост Барбоса?1