Логика высказываний позволяет строить составные высказывания. Они создаются из нескольких простых высказываний путем соединения их друг с другом с помощью логических операций НЕ, И, ИЛИ и др.
4.1. Логическая операция И
Определение истинности или ложности составного высказывания зависит от того, являются ли истинными или ложными простые высказывания, входящие в его состав, а также от той логической операции, которая их связывает.
Составное высказывание А И В, образованное в результате объединения двух простых высказываний А и B логической операцией И, истинно тогда и только тогда, когда А и В одновременно истинны (пример 4.1 и пример 4.2).
Операцию И называют логическим умножением. Равенства 1 · 1 = 1, 1 · 0 = 0, 0 · 1 = 0, 0 · 0 = 0, верные для обычного умножения, верны и для логического умножения.
Представим таблицу истинности для логической операции И:
|
А |
В |
А И В |
|
1 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
Если хотя бы одно из простых высказываний, связанных операцией И, будет ложным, то и составное высказывание будет ложным.
Для записи логической операции И используют следующие обозначения: A И B, A AND B, A · B, A * B, A∧B, A & B.
4.2. Логическая операция ИЛИ
Составное высказывание А ИЛИ В, образованное в результате объединения двух простых высказываний А и B логической операцией ИЛИ, ложно тогда и только тогда, когда А и В одновременно ложны (пример 4.3).
Другими словами, составное высказывание А ИЛИ В будет истинным, если истинно хотя бы одно из двух составляющих его простых высказываний (пример 4.4).
Таблица истинности для логической операции ИЛИ имеет следующий вид:
|
А |
В |
А ИЛИ В |
|
1 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
Операцию ИЛИ называют логическим сложением. Равенства 1 + 0 = 1, 0 + 1 = 1, 0 + 0 = 0, верные для обычного сложения, верны и для логического сложения.
Для записи логической операции ИЛИ можно использовать следующие выражения: A ИЛИ B, A OR B, A + B, A∨B, A | B.
Если в логическом выражении присутствует несколько логических операций, то важно определить порядок их выполнения. Наивысшим приоритетом обладает операция НЕ. Логическая операция И, т. е. логическое умножение, выполняется раньше операции ИЛИ — логического сложения (пример 4.5* и пример 4.6*).
Для изменения порядка выполнения логических операций используют скобки: в этом случае сначала выполняются операции в скобках, а затем — все остальные.
Логические операции И и ИЛИ подчиняются переместительному закону:
A И B = B И A;
A ИЛИ B = B ИЛИ A.
Чтобы определить значение составного логического выражения, иногда достаточно знать значение только одного простого высказывания.
Так, если в составном высказывании с операцией И значение хотя бы одного простого высказывания является ложным, то и значение составного высказывания будет ложным. Если в составном высказывании с операцией ИЛИ значение хотя бы одного простого будет истинным, то и значение составного высказывания будет истинным (пример 4.7).
|
Пример 4.1. Проанализируем высказывание «Число 456 трехзначное и четное».
Данное высказывание является составным, поскольку оно содержит два простых высказывания: «Число 456 трехзначное» (высказывание А) и «Число 456 четное» (высказывание В). Высказывания А и В соединены вместе логической операцией И, в результате получено составное высказывание А И B. Высказывание А истинно, высказывание В истинно. Поэтому высказывание А И B истинно: (А И B) = 1. Пример 4.2. Высказывание А: «Геракл — герой древнегреческой мифологии». Истинно, А = 1. Высказывание В: «Геракл — сын бога Зевса». Истинно, B = 1.
Высказывание А И В: «Геракл — герой древнегреческой мифологии И сын бога Зевса». Истинно, (А И В) = 1. Пример 4.3. Проанализируем высказывание «Семиклас-сники изучают философию или астрономию». Данное составное высказывание образовано из двух простых высказываний: «Семиклассники изучают философию» (высказывание А), «Семиклас-сники изучают астрономию» (высказывание В), которые связаны логической операцией ИЛИ. В результате получилось составное высказывание А ИЛИ B. Высказывание А ложно, высказывание В ложно. Поэтому высказывание А ИЛИ B ложно: (А ИЛИ B) = 0. Пример 4.4. Высказывание А: «Франциск Скорина — белорусский первопечатник». Истинно, А = 1. Высказывание В: «Стефан Баторий — турецкий султан». Ложно, B = 0.
Высказывание «Франциск Скорина — белорусский первопечатник, ИЛИ Стефан Баторий — турецкий султан» будет истинным, (А ИЛИ В) = 1. Пример 4.5*.
Значение высказывания F, полученное в 3-м действии, определит значение исходного логического выражения. Пример 4.6*.
Значит, при начальных значениях А = 1, B = 0, С = 0 значение логического выражения А ИЛИ B И НЕ С истинно. Пример 4.7. Высказывание А: «Прогноз погоды обещает дожди». Высказывание В: «Сейчас на улице идет дождь». Высказывание А И B будет ложным, если мы увидели, что на улице нет дождя (независимо от того, что обещал прогноз погоды). Высказывание А ИЛИ B будет истинным, если прогноз погоды обещал дождь (независимо от того, какую погоду мы наблюдаем сейчас). |
1 В каких условиях составное высказывание А И В может быть истинным?
2 В каких случаях составное высказывание А ИЛИ В может быть ложным?
- Мяч круглый, ИЛИ Земля плоская.
- Кролики — домашние животные, И баобаб растет в Беловежской пуще.
- Клавиатура — устройство ввода информации, ИЛИ винчестер — устройство вывода информации.
- М. Ю. Лермонтов написал стихотворение «Парус», И И. А. Крылов написал басню «Квартет».
- Сосна — хвойное дерево, И кедр — не хвойное дерево.
- Процессор — устройство обработки информации в компьютере, ИЛИ наушники — не устройство ввода информации.
- Континенты и острова — это большие участки суши.
2 О том, как прошли летние каникулы, Кира рассказала своим друзьям следующее:
- Я была у бабушки в деревне, и рядом с деревней было озеро.
- По озеру плавала лодка или утка.
- Мы с бабушкой насобирали малины и смородины.
- Я составила букет из цветов. В нем были ромашки или гвоздики.
Подготовьте к каждому из высказываний Киры рисунки, учитывая, что все высказывания истинны.
3 Откройте файл с рисунком и разложите грибы по корзинкам так, чтобы было истинным следующее высказывание: «В большой корзине все грибы съедобные, и в маленькой корзине все грибы несъедобные».
4 Откройте файл с рисунком и поставьте все цветы в вазы так, чтобы было истинным высказывание: «В синей вазе все цветы розы, или в красной вазе все цветы не красного цвета».
5* Найдите значения логических выражений, если А = 1, B = 1, С = 0,D = 0.
- А ИЛИ B И НЕ С.
- А И НЕ B ИЛИ С.
- А ИЛИ B И НЕ (С И D).
- (А И B) ИЛИ НЕ С И (А ИЛИ B) ИЛИ НЕ D.