§ 4. Лагічныя аперацыі І і АБО

Логіка выказванняў дазваляе будаваць састаўныя выказванні. Яны ствараюцца з некалькіх простых выказванняў шляхам злучэння іх адно з адным з дапамогай лагічных аперацый НЕ, І, АБО і інш.

4.1. Лагічная аперацыя І

Вызначэнне праўдзівасці або непраўдзівасці састаўнога выказвання залежыць ад таго, ці з’яўляюцца праўдзівымі або непраўдзівымі простыя выказванні, якія ўваходзяць у яго склад, а таксама ад той лагічнай аперацыі, што іх звязвае.

Састаўное выказванне А І В, утворанае ў выніку аб’яднання двух простых выказванняў А і B лагічнай аперацыяй І, праўдзіва тады і толькі тады, калі А і B адначасова праўдзівыя.

Калі хоць бы адно з простых выказванняў, звязаных аперацыяй І, будзе непраўдзівым, то і састаўное выказванне будзе непраўдзівым (прыклады 4.1 і 4.2).

Аперацыю I называюць лагічным множаннем. Роўнасці 1 · 1 = 1, 1 · 0 = 0, 0 · 1 = 0, 0 · 0 = 0, правільныя для звычайнага множання, правільныя і для лагічнага множання.

Прывядзём табліцу праўдзівасці для лагічнай аперацыі I:

 

А

В

А I В

1

1

1

0

1

0

1

0

0

0

0

0

Для запісу лагічнай аперацыі І выкарыстоўваюць наступныя абазначэнні: И B, A AND B, A · B, A * B, AB, A & B.

4.2. Лагічная аперацыя АБО

Састаўное выказванне А АБО В, утворанае ў выніку аб’яднання двух простых выказванняў А i B лагічнай аперацыяй АБО, непраўдзівае тады і толькі тады, калі А i В адначасова непраўдзівыя.

Іншымі словамі, састаўное выказванне А АБО В будзе праўдзівым толькі ў тым выпадку, калі праўдзіва хоць бы адно з двух простых выказванняў, што складаюць гэта выказванне (гл. прыклад 4.3 і прыклад 4.4).

Табліца праўдзівасці для лагічнай аперацыі АБО:

А

В

А АБО В

1

1

1

0

1

1

1

0

1

0

0

0

Аперацыю АБО называюць лагічным складаннем. Роўнасці 1 + 0 = 1, 0 + 1 = 1, 0 + 0 = 0, правільныя для звычайнага складання, правільныя і для лагічнага складання.

Для запісу лагічнай аперацыі АБО можна выкарыстоўваць наступныя выразы: A АБО B, A OR B, A + B, AB, A | B.

Калі ў лагічным выразе прысутнічае некалькі лагічных аперацый, то важна вызначыць парадак іх выканання. Найвышэйшым прыярытэтам валодае аперацыя НЕ. Лагічная аперацыя І, г. зн. лагічнае множанне, выконваецца раней за аперацыю АБО — лагічнае складанне (прыклады 4.5* і 4.6*). Для змянення парадку выканання лагічных аперацый выкарыстоўваюць дужкі: у гэтым выпадку спачатку выконваюцца аперацыі ў дужках, а затым — усе астатнія.

Лагічныя аперацыі І і АБО падпарадкоўваюцца перамяшчальнаму закону:

A I B = B I A;

A АБО B = B АБО A.

Каб вызначыць значэнне састаўнога лагічнага выразу, часам дастаткова ведаць значэнне толькі аднаго простага выказвання. Так, калі ў састаўным выказванні з аперацыяй І хоць бы адно простае выказванне з’яўляецца непраўдзівым, то значэнне састаўнога выказвання будзе непраўдзівым. Калі ў састаўным выказванні з аперацыяй АБО хоць бы адно простае выказванне праўдзівае, то значэнне састаўнога выказвання будзе праўдзівым (прыклад 4.7).

Прыклад 4.1. Прааналізуем выказванне «Лік 456 трохзначны і цотны».

Дадзенае выказванне з’яўляецца састаўным, паколькі змяшчае два простыя выказванні:

«Лік 456 трохзначны» (выказванне А);

«Лік 456 цотны» (выказванне В).

Выказванні А і В злучаны разам лагічнай аперацыяй І, у выніку атрымана састаўное выказванне А І B. Выказванне А праўдзівае, выказванне В праўдзівае. Таму выказванне А І B праўдзівае: (А І B) = 1.

Прыклад 4.2. Выказванне А: «Геракл — герой старажытнарускай міфалогіі». Непраўдзіва, А = 0.

Выказванне В: «Геракл — сын бога Зеўса». Праўдзіва, B = 1.

Выказванне А І В: «Геракл — герой старажытнарускай міфалогіі І сын бога Зеўса». Непраўдзіва, (А І В) = 0.

Прыклад 4.3. Прааналізуем выказванне «Сямікласнікі вывучаюць філасофію або астраномію».

Дадзенае састаўное выказванне ўтворана з двух простых:

«Сямікласнікі вывучаюць фласофію» (выказванне А);
«Сямікласнікі вывучаюць астраномію» (выказванне В).
Выказванні звязаны лагічнай аперацыяй АБО. У выніку атрымалася састаўное выказванне А АБО B. Выказванне А непраўдзівае, выказванне В непраўдзівае. Таму выказванне А АБО B непраўдзівае: (А АБО B) = 0.

Прыклад 4.4. Выказванне А: «Францыск Скарына — беларускі першадрукар». Праўдзіва, А = 1.

Выказванне В: «Стэфан Баторый — турэцкі султан». Непраўдзіва, B = 0.

Выказванне «Францыск Скарына — беларускі першадрукар, АБО Стэфан Баторый — турэцкі султан» будзе праўдзівым, (А АБО В) = 1.

Прыклад 4.5*.
Разгледзім выраз: А АБО B І НЕ С. Распішам па дзеяннях вылічэнне яго значэння:

  1. 1) D = НЕ С;
  2. 2) E = B I D;
  3. 3) F = А АБО E.

Значэнне выказвання F, атрыманае ў 3-м дзеянні, вызначыць значэнне зыходнага лагічнага выразу.

Прыклад 4.6*.
Няхай выказванне А = 1, B = 0, С = 0. Знойдзем значэнне лагічнага выразу А АБО B І НЕ С.

  1. 1) D = НЕ С = 1;
  2. 2) E = B I D = 0 I 1 = 0;
  3. 3) F = А АБО E = 1 АБО 0 = 1.

Значыць, пры пачатковых значэннях А = 1, B = 0, С = 0 значэнне лагічнага выразу А АБО B І НЕ С праўдзівае.

Прыклад 4.7. Выказванне А: «Прагноз надвор’я абяцае дажджы». Выказванне В: «Зараз на вуліцы ідзе дождж».

Выказванне А І B будзе непраўдзівым, калі мы ўбачылі, што на вуліцы няма дажджу (незалежна ад таго, што абяцаў прагноз надвор’я).

Выказванне А АБО B будзе праўдзівым, калі прагноз надвор’я абяцаў дождж (незалежна ад таго, якое надвор’е мы назіраем зараз).


1. У якіх выпадках састаўное выказванне А І В можа быць праўдзівым?



2. У якіх выпадках састаўное выказванне А АБО В можа быць непраўдзівым?



1. Вызначыце, праўдзівымі ці непраўдзівымі з’яўляюцца ніжэйпрыведзеныя састаўныя выказванні.

    1. Мяч круглы, АБО Зямля плоская.
    2. Трусы — хатнія жывёлы, І баабаб расце ў Белавежскай пушчы.
    3. Клавіятура — устройства ўводу інфармацыі, АБО мыш — устройства вываду інфармацыі.
    4. А. Крылоў напісаў байку «Квартэт», І М. Ю. Лермантаў напісаў верш «Ветразь».
    5. Сасна — хвойнае дрэва, І кедр — не хвойнае дрэва.
    6. Манітор — устройства ўводу інфармацыі, АБО сканер — НЕ ўстройства вываду інфармацыі.
    7. Кантыненты І астравы — гэта вялікія ўчасткі сушы.

2. Пра тое, як прайшлі летнія канікулы, Кіра расказала сваім сябрам наступнае:

    1. Я была ў бабулі ў вёсцы, і побач з вёскай было возера.
    2. Па возеры плавала лодка або качка.
    3. Мы з бабуляй назбіралі малін і парэчак.
    4. Я саставіла букет з кветак. У ім былі рамонкі або гваздзікі.

Падрыхтуйце да кожнага з выказванняў Кіры рысункі, улічваючы, што ўсе выказванні праўдзівыя.

3. Адкрыйце файл з рысункам і раскладзіце грыбы па кошыках так, каб было праўдзівым наступнае выказванне: «У вялікім кошыку ўсе грыбы ядомыя, і ў маленькім кошыку ўсе грыбы неядомыя».

4. Адкрыйце файл з рысункам і пастаўце ўсе кветкі ў вазы так, каб было праўдзівым выказванне: «У сіняй вазе ўсе кветкі ружы, або ў чырвонай вазе ўсе кветкі не чырвонага колеру».

5*. Знайдзіце значэнні лагічных выразаў, калі А = 1, B = 1, С = 0, D = 0.

    1. А АБО B I НЕ С.
    2. А I НЕ B АБО С.
    3. А АБО B I НЕ (С I D).
    4. (А I B) АБО НЕ С I (А АБО B) АБО НЕ D.