§ 6. Операции над множествами

Для множеств, как и для высказываний, определены свои операции. Такими операциями являются операции пересечения и объединения множеств.

Рассмотрим множество учащихся 7-го класса. Выделим среди них два подмножества: множество любителей игры в настольный теннис и множество учащихся, у которых дома есть компьютер. Некоторые из учащихся могут и иметь дома компьютер, и увлекаться игрой в теннис. Значит, такие учащиеся будут входить как в одно, так и в другое множество.

Пересечением множеств А и B называется множество, в которое входят только те элементы, которые принадлежат как множеству А, так и множеству В. Для обозначения операции пересечения используется знак . Образцы выполнения заданий на нахождение пересечения множеств представлены в примере 6.1 и примере 6.2.

Выделим среди учащихся 7-го класса два подмножества: множество любителей игры в настольный теннис и множество любителей игры в большой теннис. Тогда множество любителей тенниса будет включать в себя и тех, кто играет в настольный теннис, и тех, кто играет в большой теннис. Если кто-то играет и в большой, и в настольный теннис, то он тоже будет входить в множество любителей тенниса.

Объединением множеств А и В называется множество, в которое входят элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств А или В. Для обозначения операции объединения множеств используется знак . Образец выполнения задания на объединение множеств представлен в примере 6.3.

Пересечение и объединение двух множеств можно изобразить с помощью кругов Эйлера.

Пример 6.1. Найдем пересечение множеств А и В .

Множество А Фигуры
красного цвета
Множество В Треугольники
Множество А  ∩  В Треугольники
красного цвета

Пример 6.2. Найдем пересечение множеств А и В .

Множество  А  — животные, умеющие летать: пчела, журавль, майский жук, воробей, аист, стрекоза.

Множество  В  — птицы: страус, журавль, пингвин, аист, курица, воробей.

Пересечение А  ∩  В = {журавль, аист, воробей} — птицы, которые умеют летать.

Пример 6.3. Найдем объединение множеств А и В .

 

Множество А Ромбы
Множество В Прямоугольники
Множество А  ∪  В Четырехугольники

 


1 Что называют пересечением множеств?



2 Что называют объединением множеств?



3 Как обозначаются операции пересечения и объединения множеств?



    1 Найдите пересечение и объединение множеств А и В.

    1) А = {математика, информатика, история, литература};

    В = {английский язык, математика, химия, история};

    2) А = {яблоко, апельсин, мандарин, лимон, киви};

    В = {апельсин, персик, мандарин, груша, лимон}.

  1. 2 Заданы два множества:
    1. множество задач, решаемых с помощью программы графический редактор = {открыть, сохранить, создать, заливка цветом, печать};
    2. множество задач, решаемых с помощью программы текстовый редактор = {открыть, сохранить, создать, увеличить размер шрифта, печать}.
    Найдите пересечение и объединение этих множеств.

 

  1. 3 Решите задачи с использованием кругов Эйлера (нарисуйте их в графическом редакторе).
    1. 1. Про учащихся школы, которые участвовали в физико-математическом конкурсе, известно, что 7 из них справились с задачами и по математике, и по физике, 11 — с задачами по математике, 9 — с задачами по физике. Сколько учащихся принимали участие в конкурсе?
    2. 2. В киоске около школы продается мороженое двух видов: «Эскимо» и «Пломбир». После уроков 24 учащихся купили мороженое. При этом 15 из них выбрали «Эскимо», а 17 — мороженое «Пломбир». Сколько человек купили мороженое каждого вида?
    3. 3*. Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким языком владеют 30 человек, английским — 28, французским — 42. Английским и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и французским — 10, немецким и французским — 5, всеми тремя языками — 3. Сколько туристов не владеют ни одним языком?
  2. 4* Используя рисунок, выполните задания.

    1. Создайте два подмножества множества девочек. Для всех девочек, входящих в первое подмножество, истинно высказывание: «Девочка носит брюки синего цвета, И на ее майке есть красный цвет». Для всех девочек, входящих во второе подмножество, истинно высказывание: «Девочка одета не в брюки ИЛИ имеет волосы желтого цвета».
    2. Найдите пересечение и объединение этих множеств.
    3. Сколько девочек не попало ни в одно подмножество?
    4. Выполните упражнение в графическом редакторе. Вокруг девочек из первого множества нарисуйте границу красным цветом, а вокруг девочек из второго множества — синим. Область пересечения закрасьте желтым цветом.